Ejercicios de la función cuadrática
A partir de todo lo aprendido hasta ahora halla los puntos de las siguientes funciones:
1. f (x)= x² - 4x -2 < x > 6
2. f (t)= 9t - 2t² 0 < x > 5
3. f (x)= x² - 4x + 3
4. f (x)= -2x² + 12 - 13
domingo, 10 de marzo de 2024
Hallar los puntos de una función cuadrática con un rango establecido
Función cuadrática con un rango establecido
Para poder identificar cuándo hay que establecer un rango en específico de valores en una gráfica te aparecerán ciertos números los cuáles te indican desde que valor comenzará y terminará nuestra parábola, un ejemplo es lo siguiente:
-8 < x > 2
Esto hace referencia a que graficaremos en "x" todos los puntos menores que -8 hasta los números menores que 2
Ejemplo:
- Nos dan una función, en este caso:
F (x) = -x²-6x+7 -8 < x > 2
2. Para poder sacar los puntos es indispensable hacer una tabla, dónde en "x" se encuentren los valores menores a -8 y menores a 2, estos números serán los límites de nuestra parábola, como se muestra a continuación:
x f(x)= -x²-6x+7
-8 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3. Ahora debemos vaciar en la tabla los datos correspondientes, eso significa que nuestra ecuación le añadiremos los puntos puestos en la casilla de "x", poniendo cada valor en cada "x" de la ecuación, así como se muestra en la siguiente tabla:
x f(x)= -x²-6x+7
-8 | - ( -8 ) ² - 6 ( -8 ) + 7
-7 | - ( -7 ) ² - 6 ( -7 ) + 7
-6 | - ( -6 ) ² - 6 ( -6 ) + 7
-5 | - ( -5 ) ² - 6 ( -5 ) + 7
-4 | - ( -4 ) ² - 6 ( -4 ) + 7
-3 | - ( -3 ) ² - 6 ( -3 ) + 7
-2 | - ( -2 ) ² - 6 ( -2 ) + 7
-1 | - ( -1 ) ² - 6 ( -1 ) + 7
0 | - ( 0 ) ² - 6 ( 0 ) + 7
1 | - ( 1 ) ² - 6 ( 1 ) + 7
2 | - ( 2 ) ² - 6 ( 2 ) + 7
4. Comenzamos a resolver las operaciones, iniciando con las elevaciones:
x f(x)= -x²-6x+7
-8 | - ( -8 ) ² - 6 ( -8 ) + 7
-7 | - ( -7 ) ² - 6 ( -7 ) + 7
-6 | - ( -6 ) ² - 6 ( -6 ) + 7
-5 | - ( -5 ) ² - 6 ( -5 ) + 7
-4 | - ( -4 ) ² - 6 ( -4 ) + 7
-3 | - ( -3 ) ² - 6 ( -3 ) + 7
-2 | - ( -2 ) ² - 6 ( -2 ) + 7
-1 | - ( -1 ) ² - 6 ( -1 ) + 7
0 | - ( 0 ) ² - 6 ( 0 ) + 7
1 | - ( 1 ) ² - 6 ( 1 ) + 7
2 | - ( 2 ) ² - 6 ( 2 ) + 7
5. Una vez hecho eso, pasamos resolviendo los paréntesis:
x f(x)= -x²-6x+7
-8 | - 64 - 6 ( -8 ) + 7
-7 | - 49 - 6 ( -7 ) + 7
-6 | - 36 - 6 ( -6 ) + 7
-5 | - 25 - 6 ( -5 ) + 7
-4 | - 16 - 6 ( -4 ) + 7
-3 | - 9 - 6 ( -3 ) + 7
-2 | - 4 - 6 ( -2 ) + 7
-1 | - 1 - 6 ( -1 ) + 7
0 | 0 - 6 ( 0 ) + 7
1 | - 1 - 6 ( 1 ) + 7
2 | - 4 - 6 ( 2 ) + 7
6. Siguiendo con las operaciones de suma y resta:
x f(x)= -x²-6x+7
-8 | - 64 + 48 + 7
-7 | - 49 + 42 + 7
-6 | - 36 + 36 + 7
-5 | - 25 + 30 + 7
-4 | - 16 + 24 + 7
-3 | - 9 + 18 + 7
-2 | - 4 + 12 + 7
-1 | - 1 + 6 + 7
0 | 0 + 0 + 7
1 | - 1 - 6 + 7
2 | - 4 - 12 + 7
7. Los resultados serán los puntos en "y" de la gráfica
x y
-8 | -9
-7 | 0
-6 | 7
-5 | 12
-4 | 15
-3 | 16
-2 | 15
-1 | 12
0 | 7
1 | 0
2 | -9
8. Como último paso graficamos los puntos
Como resultado obtenemos una parábola cóncava hacia abajo
Encontrar y graficar los puntos h y k en una función cuadrática
Encontrar los puntos h Y k
Para poder aplicar esta función es necesario tomar en cuenta dos fórmulas las cuáles son indispensables para sacar los puntos clave para graficar nuestra parábola, las fórmulas son las siguientes:
h= -b
2a
k= 4ac-b²
4a
PASOS:
1- Identificar si se trata de una función cuadrática, para comprobarlo debe de tener un exponente 2
2- Sacar los valores de a, b y c
3. Sustituye los valores de los puntos conocidos en la ecuación de la parábola: Esto te dará un conjunto de ecuaciones que puedes resolver
f ( x )=a x2+b x+C
4- Resuelve las ecuaciones para ( h ) y ( k ): Puedes usar métodos algebraicos para resolver las ecuaciones. Por ejemplo, podrías utilizar el método de sustitución
5-Una vez que hayas encontrado los valores de ( h ) y ( k ), sustitúyelos de nuevo en la ecuación de la parábola para obtener la ecuación completa.
6- Gráfica los puntos
EJEMPLO:
1) Identificar que tenga un exponente al cuadrado, si es así procedemos a realizarla
F (x) = x² -4x +5
2) Identificamos los valores de a, b y c de nuestra ecuación. Recordemos que (a,b,c) será el número que acompaña a cada término
F (x) = x² -4x +5
a=1 b= -4 c=5
En este caso como x² no tiene visible un número, ya sabemos que se tratara de un 1
3) Ahora, vaciamos todos los datos a su fórmula correspondiente, empezaremos sacando el punto "h":
h= -b
2a
- Reemplazamos cada término con su respectivo valor
h= -(-4)
2(1)
- Resolvemos:
Multiplicamos los signos: h= -(-4) = 4
Multiplicamos: 2(1) 2
Resolvemos la división: h = 2
- Y nuestro punto en "h" es 2
4) Ahora sacaremos el punto "k"
k= 4ac-b²
4a
- Reemplazamos cada término con su respectivo valor
a=1 b= -4 c=5
k= 4(1) (5) - (-4)²
4 (1)
- Resolvemos:
Recuerda que cuándo un número es negativo y se eleva al cuadrado, inmediatamente se convierte en positivo
k= 4(1) (5) - (-4)²
4 (1)
Procedemos a multiplicar todo lo que está dentro de los paréntesis:
k= 4(1) (5) - 16
4 (1)
k= 4(5) - 16
4
Restamos: k=20 - 16
4
Dividimos: k= 4
4
Resultado: k= 1
- Y nuestro punto en "k" es 1
(2, 1)
5) Ahora volvemos a sustituir para encontrar ahora las coordenadas para realizar la gráfica. Para esto haremos una tabla:
Dónde en el lado derecho estarán los puntos para "y" y en el izquierdo para "x" (los puntos de "x" son los puntos h y k que anteriormente hemos sacado, añadiendo otro conjunto de valores para que se forme la parábola)
x X²-4x+5
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
- Empezaremos a vaciar los valores a la tabla, eso quiere decir que en cada "x" de la fórmula que se te presente se agregará el valor de cada punto en "x", ejemplo:
x X²-4x+5
-2 | (-2)²- 4(-2) +5
-1 | (-1)² - 4(-1) + 5
0 | (0)² - 4(0) +5
1 | (1)² - 4(1) + 5
2 | (2)² - 4(2) + 5
3 | (3)² - 4(3) + 5
4 | (4)² - 4(4) + 5
- Ahora resolvemos, comenzando con los que tienen elevaciones:
x X²-4x+5
-2 | (-2)²- 4(-2) +5
-1 | (-1)² - 4(-1) + 5
0 | (0)² - 4(0) +5
1 | (1)² - 4(1) + 5
2 | (2)² - 4(2) + 5
3 | (3)² - 4(3) + 5
4 | (4)² - 4(4) + 5
- Después, multiplicamos los paréntesis:
x X²-4x+5
-2 | 4 - 4(-2) +5
-1 | 1 - 4(-1) + 5
0 | 0 - 4(0) +5
1 | 1 - 4(1) + 5
2 | 4 - 4(2) + 5
3 | 9 - 4(3) + 5
4 | 16 - 4(4) + 5
- Resolvemos las sumas y restas:
x X²-4x+5
-2 | 4 + 8 +5 = 17
-1 | 1 + 4 + 5 = 10
0 | 0 - 0 +5 = 5
1 | 1 - 4 + 5 = 2
2 | 4 - 8 + 5 = 1
3 | 9 - 12 + 5 = 2
4 | 16 - 16 + 5 = 5
- Y ya tenemos los puntos de "x" y "y"
x y
-2 | 17
-1 | 10
0 | 5
1 | 2
2 | 1
3 | 2
4 | 5
6) Graficamos una vez ya sustituido los puntos h,k
Y obtenemos como resultado una parábola cóncava hacia arriba
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